Son nom c'est la "tige de réglage".
Ensuite moi j'ai jamais entendu parler de manche collé à moins que ce ne soit un manche conducteur. Les autres manches sont vissées (et donc, coté pratique oblige, démontables).
C'est possible de le réparer mais à ta place je ne ferais pas ça moi même. J'emmenerais ça chez un luthier justement qui garantira la bonne marche des opérations. Et puis si il se gourre c'est SA faute
